Exercice 1

Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal direct , ayant comme unité graphique 3 cm.

Les nombres complexes z₁, z₂, z₃, z₄, z₅ et z₆ que l’on va calculer dans cet exercice seront tous exprimés sous la forme algébrique et sous la forme exponentielle ().

1. Résoudre dans C l’équation : .

On pose et . Exprimer z₁et z₂ sous forme exponentielle et placer les points M₁ et M₂ d’affixes respectives z₁ et z₂ dans le plan P.

2. Soit r la rotation de centre O et d’angle .

Calculer l’affixe z₃ du point M₃ = r(M₂).

Placer M₃ sur la figure précédente.

2. Soit t la translation dont le vecteur a pour affixe .

Calculer l’affixe z₄ du point M₄ = t(M₂).

Placer M₄ sur la figure.

2. Soient et .

Exprimer z₅ et z₆ sous forme exponentielle et placer les points M₅ et M₆ d’affixes respectives z₅ et z₆ sur la figure.

2. a) Calculer pour {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

b) Écrire z⁶ + 1 sous forme de trois polynômes du second degré à coefficient réels ; justifier cette écriture.

Exercice 2

On désigne par f la fonction définie sur par :

et C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal.

1. Déterminer les limites aux bornes de son ensemble de définition.

Justifier que la courbe C admet deux asymptotes verticales, que l’on précisera.

2. Étudier les variations de f.

3. a) Montrer que la droite ∆ d’équation est asymptote à la courbe C.

b) Étudier la position de C par rapport à ∆.

4. Tracer la courbe C, ses deux asymptotes verticales et la droite ∆.