Exercice 48 : Augmentation annuelle de 1,5%

Une société de nettoyage industriel embauche un technicien le 1etr juillet 2004, avec les conditions suivantes :

-salaire mensuel : u₀ = 1200€ au 1^er juillet 2004

-augmentation de 1,5% par an

On note u₁ le salaire au 1^er juillet 2005, u₂ le salaire au 1^er juillet 2006, u_n le salaire au 1^er juillet de l’année (2004+n).

1. Calculer le salaire mensuel u1 au cours de la deuxième année puis le salaire mensuel u2 au cours de la troisième année. Les résultats seront arrondis au centime d’euro.

2. Les salaires successifs de ce technicien forment une suite (u_n) de premier terme u₀ = 1200€. S’agit-il d’une suite arithmétique ou géométrique ? Justifier votre réponse et calculer la raison de cette suite.

3. Exprimer u_n en fonction de n.

4. Si le salaire du technicien devait augmenter tous les ans de 1,5% pendant 10 ans, quel serait son montant en juillet 2011 ?

Exercice 53 : Le remplacement d’une machine

Un industriel a acheté chez un fabricant, en 1999, une machine de type « M », neuve, pour un prix de 45 000€.

1.On appelle « valeur de reprise » le prix de rachat par le fabricant de la machine M, usagée, pour l’achat d’une nouvelle machine M, neuve. Cette valeur de reprise diminue chaque année de 20% de la valeur qu’elle avait l’année précédente.

On note R_n cette valeur de reprise, exprimée en euros, n années après l’achat de la machine neuve. On admet que, lorsque la machine vient d’être achetée, sa valeur de reprise est égale au prix d’achat. Ainsi R₀ = 45 000

1. Vérifier que R₁ = 36 000

2. Donner l’expression de R_n+1 en fonction de R_n

3. En déduire la nature de la suite (R_n) puis exprimer R_n en fonction de n

2.Chez le fabricant, le prix de vente de la machine M neuve, exprimé en euros, augmente de 1000€ chaque année. On note P_n ce prix l’année « 1999 + n ».

P₀ étant égal à 45 000, exprimer P_n+1 en fonction de P_n puis P_n en fonction de n.

3.Cinq ans se sont écoulés. On suppose que l’industriel projette d’acheter à nouveau une machine M, neuve, identique à celle achetée en 1999, tout en revendant cette dernière au fabricant.

Ces transactions s’effectuant dans les conditions des questions 1 et 2, quelle somme en euros, l’industriel doit-il débourser ?

4.On constate qu’après 10 années écoulées, l’industriel serait obligé de débourser environ 50 168€ pour acheter une machine M neuve, dans les conditions des questions 1 et 2.

a) Donner le détail des calculs aboutissant à ce résultat.

b) Quel serait alors le pourcentage d’augmentation entre la dépense en 1999 et la dépense en 2009 ?